Enunciado y solución del problema para resolverlo por ecuación de segundo grado para montañas en la zona iluminada de la Luna.



Enunciado



Estimar la altura de una montaña de la Luna.



Solución


Para calcular la altura de una montaña de la Luna, sólo debemos seguir los siguientes pasos:



  1. Descarga una de las siguientes fotografías pinchando sobre ellas
    Monte PicoMonte Piton
                         Monte Pico                                                      Monte Piton
  2. Abre la fotografía que has descargado con Salsa J (con anterioridad se ha descrito desde dónde puedes descargar el programa).
  3. Pon la escala correspondiente de la fotografía en Salsa J, teniendo como dato el diámetro de la Luna (3.476 Km).
  4. Los círculos azules de las fotografías indican dos montañas de la Luna que se pueden estudiar
  5. Determina la distancia que hay entre el terminador (línea día/noche, nosotros estamos en la parte de día) y la sombra de la montaña (el segmento CA). Con la palabra terminador se conoce a la división existente entre los hemisferios iluminado y oscuro de la Luna o de cualquier otro cuerpo celeste
  6. El radio de la Luna es conocido ya que sabemos el valor de su diámetro
  7. Determina la longitud de la sombra de la montaña (el segmento AB)
  8. Identifica, en la figura del apartado 11, dos triángulos rectángulos
  9. Aplica el teorema de Pitágoras en cada triángulo rectángulo que has identificado en el apartado anterior
  10. Cambia los segmentos por sus equivalentes medibles: R, d, s y a. (observar figura del siguiente apartado)
  11. Calcular la altura de la montaña, por una simple ecuación de segundo grado, teniendo en cuenta la siguiente figura en el plano:







AB = s (longitud de la sombra de la montaña)
AA_1 = a (altura de la montaña)
BC = d (distancia al terminador)
OA_1 = OB = R (radio de la Luna)
B = punta de la sombra de la montaña


NOTA: La solución saldrá en función de R, d y s



Para poder determinar la altura de una montaña de la Luna sólo necesitamos conocer la longitud de su sombra, que mediremos con el programa SalsaJ. Así obtenemos la figura anterior del plano.

¿Cómo trabajar con Salsa J?


        Para trabajar con el programa Salsa J seguiremos los siguientes pasos:

  1. Abrir con el programa la fotografía que queremos estudiar.
  2. Poner la escala con la que vamos a trabajar de la siguiente manera:con la opción selección rectilínea mediremos el diámetro de la Luna por el terminador (esta opción nos dará lo que mide el diámetro de la Luna en píxeles). A continuación, en Analizar, en Fijar Escala, ya tenemos los píxeles, falta meter la distancia real del diámetro de la Luna que lo conocemos, 3476 Km. Por último en unidad de longitud (dentro de Fijar Escala), ponemos la unidad con la que trabajaremos, los Kilómetros. A partir de ahora todo lo que midamos nos dará la distancia real en Km. Pondremos la opción de Global dentro de Fijar Escala y daremos Vale!.
  3. Ya sólo queda medir los datos que nos hacen falta conocer para poder realizar el problema. Para ello con selección rectilínea señalamos lo que queremos medir y a continuación damos a Analiza y después a Medida, y saldrá una ventana con la distancia real en Kilómetros. Una vez medidos todos los datos ya podemos calcular la altura de la montaña como se muestra a continuación.


Resolución del problema.


AB = s (longitud de la sombra de la montaña)
AA_1 = a (altura de la montaña)
BC = d (distancia al terminador)
OA_1 = OB = R (radio de la Luna)
B = punta de la sombra de la montaña.

Observando la figura se tiene que los triángulos OCA y OBC son rectángulos, entonces podemos aplicar el teorema de Pitágoras a cada uno de ellos:

(1)OA^2 = OC^2 + CA^2

(2)OB^2  = OC^2  + CB^2, que despejando queda OC^2 = OB^2 – CB^2, y sustituyendo en la ecuación (1) obtenemos:

(3)OA^2 = OB^2 – CB^2 + CA^2.

Por otro lado tenemos que OA = R + a, CA = d + s, OB = R y CB = d. Así ya conocemos todos los datos necesarios para poder calcular la altura de nuestra montaña. Sustituyendo en la ecuación (3) obtenemos:

Recordemos que lo que estamos buscando es el valor a.

(R + a)^2 = R^2 – d^2 + (d+s)^2 doubleright a^2 + 2Ra – 2ds - s^2 = 0   doubleright
   a = -R+ sqrt{(R^2+2ds+s^2)}.


Evidentemente, tomamos la raíz positiva porque si no nos saldría una altura negativa, lo cual no es posible.


Fátima López Martínez

 
enunciado_y_solucion_del_problema_para_resolverlo_por_ecuacion_de_segundo_grado_para_montanas_en_el_lado_visible_de_la_luna.txt · Última modificación: 24/04/2017 13:13 (editor externo)
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