La Luna: una esfera y sus elementos
- Enunciado
- Solución

La Luna: una esfera y sus elementos

Enunciado

La Luna tiene una forma casi esférica.

Observa la aplicación anterior. Se pide contestar:

a) ¿Cuáles son las coordenadas de los puntos A y B? ¿A cuánta distancia se encuentran?

b) Calcula:

-- El área del huso comprendido entre los meridianos que pasan por los puntos A y B.
-- El volumen de la cuña esférica comprendida entre los meridianos que pasan por los puntos A y B.

c) Calcula:

-- El área del casquete que resulta de tomar el paralelo que pasa por A y B.
-- El volumen del segmento esférico que se forma al intersecar un plano que pasa por el paralelo de los puntos A y B, con la esfera.

Solución

a) Para dar las coordenadas de los puntos A y B, tenemos que dar la longitud y la latitud de cada uno de ellos.

Para dar la longitud de A, partimos del meridiano 0º y recorremos el ecuador hasta llegar al meridiano que pasa por el punto A.

Vemos en la figura que A se sitúa en el tercer meridiano marcado, el cual está a una distancia de 90º del meridiano 0º (cada meridiano se sitúa a 30º de distancia con respecto al anterior).

doubleright tabular{11}{11}{{longitud(A)= 90º}}

Análogo para el punto B

Sabemos también, que la latitud de un punto, es el arco que se forma desde el ecuador hasta dicho punto, recorriendo el meridiano que pasa por el punto A

Como A y B observamos que están en el mismo paralelo

Para calcular la distancia entre A y B utilizamos:

{cos30º = r/1737} doubleright {r= cos30º*1737=1504 km}

Después, calculamos la longitud de arco que determinan los dos puntos: BG - AG = 105º - 60º = 45º

Así queda:

{L={2.Pi.r.nº}/{360º}={2.Pi.1504.45º}/{360º}= tabular{11}{11}{1181km}}

La distancia entre A y B es de 1181 kilometros.

b)

Utilizamos la fórmula que se dedujo en teoría para calcular el área de un huso:

Área(huso)= $tabular{11}{11}{{{4.Pi.r^2.nº}/{360º}}}$

Conocemos r = 1737 km, que es el radio de la Luna. También conocemos nº = número de grados = 45º, ya que tenemos que calcular el área comprendida entre los meridianos que pasan por los puntos A y B.

Así: Área(huso)= ${{4.Pi.{1737^2}.45º}/{360º}= tabular{11}{11}{4739358km}}$

Para calcular el volumen de la cuña que se genera utilizo:

Volumen(cuña)= $tabular{11}{11}{{{Pi.r^3.nº}/{270º}}}$

Conocemos r = 1737 km, que es el radio de la Luna. También conocemos nº = número de grados = 45º, ya que tenemos que calcular el área comprendida entre los meridianos que pasan por los puntos A y B.

Así: Volumen(cuña)= ${{Pi.{1737^3}.45º}/{270º}=tabular{11}{11}{27*10^8 aprox.}}$

c)

Utilizamos la fórmula que se dedujo en teoría para calcular el área de un casquete:

Área(casquete)= tabular{11}{11}{{2.Pi.r.h}}      donde h es la altura del casquete.

Para calcular la altura h aplicamos el proceso por el cual se calcula el valor de una magnitud directamente proporcional a otra, es decir, utilizamos una regla de tres directa:

{90º} right r=1737
                                         ⇒     {h={60º*1737}/{90º}= tabular{11}{11}{1158}} km;-)
{60º}    right h
(El radio de la Luna abarca 90º, entonces como el paralelo mide 30º, 90º-30º=60º que abarcaría la altura del casquete)

Sustituyendo los datos en la fórmula, queda:

Área(casquete)= 2.Pi.1737.1158= $tabular{11}{11}{{12´6.10^6}}$ km cuadrados.

Para calcular el volumen del casquete utilizamos la fórmula siguiente:

$tabular{11}{11}{{h.Pi(3r^2 + h^2)/6}}$
donde h es la altura del casquete y r es el radio del disco de la base del casquete, no el radio de la Luna que hemos considerado antes.

En el apartado anterior ya habíamos calculamos el radio correspondiente a ese paralelo:
{cos30º = r/1737} doubleright {r= cos30º*1737=1504 km} . También conocemos la altura del segmento esférico h = 1158 km y sustituyendo en la fórmula anterior, queda:

${{1158.Pi(3*1504^2 + 1158^2)}/6}$ = $tabular{11}{11}{{49´2*10^8}}$ kilómetros cúbicos.