Enunciado y solución del problema para resolverlo por semejanza de triángulos.



Enunciado



Estimar la altura de una montaña de la Luna.



Solución


Para resolver este ejercicio sólo tenemos que seguir los siguientes pasos:



0. Descarga una de las siguientes fotografías pinchando en ella
Monte PicoMonte Piton
                     Monte Pico                                       Monte Piton

  1. Con el programa Salsa J, abre la fotografía que has descargado (recuerda que lo puedes instalar a través de http://www.houspain.com/gttp/salsaj)
  2. Los círculos azules señalados en cada fotografía indican dos montañas a estudiar: el monte Pico y el monte Pitón
  3. Necesitarás el diámetro de la Luna -3.476Km- para que el programa SalsaJ calcule la relación de escala entre los Km en la Luna y los píxeles de la fotografía
  4. Calcula la distancia que hay entre el terminador y la sobra de la montaña (el segmento TB). Llamaremos terminador a la línea imaginaria que separa el lado iluminado y del no iluminado de la Luna o de cualquier otro cuerpo celeste
  5. El radio de la Luna es un dato conocido, ya que sabemos el valor del diámetro de la Luna
  6. Determinamos la longitud de la sombra de la montaña de la Luna (segmento AM)
  7. Calculamos la altura de la montaña, teniendo en cuenta la siguiente figura y los siguientes puntos:

      - El segmento overline{AB}approx overline{A´B} debido a que la curvatura es despreciable, ya que la altura de la montaña es mucho menor que el radio de la Luna
      - Cuanto más cerca del terminador esté la montaña menor será el error debido a la curvatura doubleright TB se considera recta
      - ¿Cómo llegamos a la siguiente figura en el plano?



BM = altura de la montaña (nuestra incógnita)
OB = radio de la luna (conocido por el problema del diámetro de la luna)
AM = longitud de la sombra de la montaña (la hemos calculado con Salsa J)
TB = distancia de la montaña al terminador (la hemos calculado con Salsa J)

  • El ejercicio no ha terminado hasta que estimes si tu resultado es aproximado a la altura real. Para ello, busca la altura de los dos montes por internet.
  • En caso de que tu resultado se diferencie del real en más de un 20%, revisa cada uno de los pasos y cálculos que has realizados.




¿Cómo trabajar con Salsa J?

        Para trabajar con el programa Salsa J seguiremos los siguientes pasos:

  1. Abrir con el programa la fotografía que queremos estudiar.
  2. Poner la escala con la que vamos a trabajar de la siguiente manera:con la opción selección rectilínea mediremos el diámetro de la Luna por el terminador (esta opción nos dará lo que mide el diámetro de la Luna en píxeles). A continuación, en Analizar, en Fijar Escala, ya tenemos los píxeles, falta meter la distancia real del diámetro de la Luna que lo conocemos, 3476 Km. Por último en unidad de longitud (dentro de Fijar Escala), ponemos la unidad con la que trabajaremos, los Kilómetros. A partir de ahora todo lo que midamos nos dará la distancia real en Km. Pondremos la opción de Global dentro de Fijar Escala y daremos Vale!.
  3. Ya sólo queda medir los datos que nos hacen falta conocer para poder realizar el problema. Para ello con selección rectilínea señalamos lo que queremos medir y a continuación damos a Analiza y Medida y saldrá una ventana con la distancia real en Kilómetros. Una vez medidos todos los datos ya podemos calcular la altura de la montaña como se muestra a continuación.


Resolución del problema.



BM = altura de la montaña (queremos calcularlo)
OB = radio de la luna (conocido por el problema del diámetro de la luna)
AM = longitud de la sombra de la montaña (conocida)
TB = distancia de la montaña al terminador (el terminador es la línea día/noche, ahora nosotros estamos en la parte de día).


En la figura podemos observar que los triángulos BTO y MBA son semejantes, ya que dos de sus lados son paralelos (AM y TB son paralelos y OB y BM son paralelos), y coinciden en un ángulo (los ángulos que forman los vértices MBA y BTO son el mismo, un ángulo recto). Entonces, por las propiedades de las semjanzas de triángulos obtenemos:

MB/MA = TB/OB

Despejando MB ya tenemos la altura de la montaña.




Fátima López Martínez

 
enunciado_y_solucion_del_problema_para_resolverlo_por_semejanza_de_triangulos.txt · Última modificación: 24/04/2017 13:13 (editor externo)
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